Содержание

• Шаги
• подсказки

Скорость определяется как ускорение объекта в заданном направлении. Во многих распространенных ситуациях мы используем уравнение v = s / t, где v равно скорости, s равно общему смещению объекта от его исходной точки, а t равно затраченному времени. Однако технически результат уравнения представляет собой только «среднюю» скорость во время поездки. С помощью расчета можно узнать скорость объекта в любой момент путешествия. Это называется «мгновенной скоростью», которая определяется уравнением v = (ds) / (dt), или, другими словами, уравнение производной средней скорости объекта.

Шаги

Часть 1 из 3: Расчет мгновенной скорости

1. 

   
   
   Начните с уравнения скорости через смещение. Чтобы получить мгновенную скорость объекта, вам сначала нужно уравнение, которое показывает положение объекта (с точки зрения смещения) в данный момент времени. Это означает, что уравнение должно иметь переменную s один на одной стороне и т с другой стороны, но не обязательно в одиночку, вот так:
   

   s = -1,5 т + 10 т + 4

   • В этом уравнении переменными являются:

     Смещение = s . Расстояние, пройденное объектом от исходного положения. Например, если объект перемещается на 10 метров вперед и 7 метров назад, общее смещение составляет 10-7 = 3 метра (не 10 + 7 = 17 метров).

     Время = t . Не требует пояснений. Обычно измеряется в секундах.

2. 

   
   
   Вычислите производную уравнения. Производная уравнения - это просто другое уравнение, которое показывает свою кривую в любой момент времени. Чтобы найти производную формулы смещения, дифференцируйте функцию с помощью этого общего правила, чтобы найти производные: Если y = a * x, производная = a * n * x. Это правило применяется к каждому члену на стороне уравнения, содержащему т.
   • Другими словами, начните со стороны уравнения с т, слева направо. Каждый раз, когда я нахожу один т, вычтите 1 из экспоненты и умножьте весь член на исходную экспоненту. Любые постоянные условия (термины, не содержащие т) исчезнут, поскольку они умножаются на 0. Этот процесс не так сложен, как кажется - см. приведенное выше уравнение в качестве примера:
     

     s = -1,5 т + 10 т + 4
     (2) -1,5т + (1) 10т + (0) 4т
     -3т + 10т
     -3т + 10

     
     

3. 

   Заменять s на ds / dt. Чтобы показать, что новое уравнение является производным от предыдущего, замените s с обозначением ds / dt. Технически это обозначение означает «производную s по t». Более простой способ понять это - подумать, что ds / dt - это просто кривая для любой заданной точки в первом уравнении. Например, чтобы найти линейную кривую, образованную s = -1,5t + 10t + 4 при t = 5, просто назначьте 5 t в производной.
   • В этом примере готовое уравнение должно выглядеть так:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 

   Присвойте значение t в новом уравнении, чтобы найти мгновенную скорость. После получения производного уравнения легко найти мгновенную скорость в любой момент времени. Все, что вам нужно сделать, это выбрать значение для t и присвоить его производному уравнению. Например, если вы хотите найти мгновенную скорость с t = 5, просто замените t на 5 в производной ds / dt = -3t + 10. Итак, просто решите уравнение:
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 метров / сек

   • Обратите внимание, что использовалась указанная выше единица измерения метры / секунда. Поскольку мы имеем дело с перемещением в метрах, временем в секундах, а скорость в целом - это просто смещение во времени, мера уместна.

Часть 2 из 3: Оценка мгновенной скорости на графике

1. 

   Постройте график смещения объекта во времени. В предыдущем разделе упоминалось, что производные - это не что иное, как формулы, которые помогают найти кривую в любой момент времени в уравнении, к которому она относится. Фактически, при отображении перемещения объекта линией на графике линия кривой в данной точке равна мгновенной скорости объекта в этой точке.
   • Для построения графика используйте ось X для представления времени и ось Y для представления смещения. Затем распределите точки, присвоив значения t в уравнении смещения, найдя значения s и отметив t, s (x, y) на графике.
   • Обратите внимание, что график может продолжаться ниже оси абсцисс. Если линия, представляющая движение объекта, проходит ниже оси x, она представляет объект, движущийся назад от того места, где он начал. Обычно график не простирается за ось Y - не принято измерять скорость объектов, движущихся назад во времени!

2. 

   Выберите точку P и точку Q рядом с ней на прямой. Чтобы найти кривую в точке P, используется трюк, называемый «вычислением предела». Расчет предела включает выбор двух точек (P и Q) на изогнутой линии и нахождение кривой линии, соединяющей эти две точки снова и снова, в то время как расстояние между P q Q уменьшается.
   • Допустим, линия смещения содержит точки (1,3) и (4,7). В этом случае, если вы хотите найти кривую в (1,3), определите (1.3) = P и (4.7) = Q.

3. 

   Найдите кривую между P и Q. Кривая между P и Q - это разница между значениями y для P и Q по сравнению с разницей между значениями x для P и Q. Другими словами, H = (y_Q - у_ЗА) / (Икс_Q - Икс_ЗА), где H - кривая между двумя точками. В предыдущем примере кривая между P и Q:
   

   H = (y_Q - у_ЗА) / (Икс_Q - Икс_ЗА)
   H = (7 - 3) / (4 - 1)
   H = (4) / (3) = 1,33

4. 

   Повторите несколько раз, перемещая Q ближе к P. Цель состоит в том, чтобы все больше и больше сокращать расстояние между Q и P, пока оно не приблизится к единой точке. Чем короче расстояние между Q и P, тем ближе кривая ваших маленьких сегментов будет к кривой точки P. Мы сделаем это несколько раз для примера уравнения, используя точки (2; 4,8), (1,5; 3,95) и (1,25; 3,49) для Q и исходная точка (1.3) для P:
   

   Q = (2, 4,8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
   H = (1,8) / (1) = 1,8
   
   Q = (1,5; 3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
   H = (0,95) / (0,5) = 1,9
   
   Q = (1,25; 3,49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
   H = (0,49) / (0,25) = 1,96

5. 

   Оцените кривую для бесконечно малого зазора на прямой. Когда Q приближается к P, H будет приближаться к кривой в точке P. В конце концов, в бесконечно малом интервале H будет равна кривой в P. Поскольку невозможно измерить или вычислить этот интервал, он только оценивается кривая P, когда становится ясно из проверенных точек.
   • В примере, когда Q приближается к P, значения 1,8, 1,9 и 1,96 были получены для H. Поскольку эти числа кажутся близкими к 2, можно сказать, что 2 является хорошей оценкой для P-кривой.
   • Помните, что кривая в данной точке линии такая же, как кривая, полученная из уравнения линии в этой точке. Поскольку линия показывает смещение объекта во времени и, как показано в разделе выше, мгновенная скорость объекта является производной от его смещения в данной точке, можно также сказать, что 2 метра в секунду это хорошая оценка мгновенной скорости при t = 1.

Часть 3 из 3: Примеры проблем

1. 

   Найдите мгновенную скорость при t = 4, учитывая уравнение перемещения s = 5t - 3t + 2t + 9. Это то же самое, что и пример в первом разделе, за исключением того, что это кубическое, а не квадратное уравнение, поэтому оно решается таким же образом.
   • Сначала находим производную уравнения:
     

     s = 5t - 3t + 2t + 9
     s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
     15т - 6т + 2т - 6т + 2

   • Затем присваивается значение t (4):
     

     s = 15т - 6т + 2
     15(4) - 6(4) + 2
     15(16) - 6(4) + 2
     240 - 24 + 2 = 218 метров / сек

2. 

   Используйте графическую оценку, чтобы найти мгновенную скорость в точке (1,3) для уравнения перемещения s = 4t - t. Для этой задачи (1,3) используется как точка P, но необходимо найти некоторые другие близлежащие точки для использования в качестве точек Q. Итак, это просто вопрос поиска значений H и выполнения оценки .
   • Во-первых, точки Q находятся при t = 2, 1,5, 1,1 и 1,01.
     

     s = 4t - t
     
     t = 2: s = 4 (2) - (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, поэтому Q = (2,14)
     
     t = 1,5: s = 4 (1,5) - (1,5)
     4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, поэтому Q = (1,5; 7,5)
     
     t = 1,1: s = 4 (1,1) - (1,1)
     4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, поэтому Q = (1,1; 3,74)
     
     t = 1,01: s = 4 (1,01) - (1,01)
     4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, поэтому Q = (1,01; 3,0704)

   • Тогда есть значения H:
     

     Q = (2,14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
     H = (11) / (1) = 11
     
     Q = (1,5; 7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
     H = (4,5) / (0,5) = 9
     
     Q = (1,1; 3,74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
     H = (0,74) / (0,1) = 7,3
     
     Q = (1,01; 3,0704): H = (3,0704 - 3) / (1,01 - 1)
     H = (0,0704) / (0,01) = 7,04

   • Поскольку значения H кажутся приближающимися к 7, можно сказать, что 7 метров в секунду является хорошей оценкой мгновенной скорости в (1.3).

подсказки

• Чтобы найти ускорение (изменение скорости с течением времени), используйте метод в первой части, чтобы получить производное уравнение для функции смещения. Затем получите другую производную, на этот раз из производного уравнения. Таким образом, у вас будет уравнение для нахождения ускорения за заданное время - все, что вам нужно сделать, это присвоить значение времени.
• Уравнение, связывающее Y (смещение) с X (время), может быть довольно простым, например, Y = 6x + 3. В этом случае кривая является постоянной, и нет необходимости находить производную для получения кривой, которая составляет, следуя базовой модели Y = mx + b для линейных графиков, 6.
• Смещение похоже на расстояние, но имеет определенное направление, которое создает векторное смещение и скалярное ускорение. Смещение может быть отрицательным, а расстояние только положительным.