Автор:
Vivian Patrick
Дата создания:
14 Июнь 2021
Дата обновления:
1 Май 2024
Содержание
До появления калькулятора и ученикам, и учителям приходилось вычислять квадратные корни вручную. Чтобы лучше справиться с этим пугающим процессом, было разработано несколько методов, некоторые из которых позволяют получить приблизительные значения, а другие - более точные. Чтобы узнать, как вычислить квадратный корень вручную с помощью простых операций, прочтите Шаг 1 начать.
Шаги
Метод 1 из 2: использование разложения на простые множители
Разделите число на квадратные множители. Этот метод использует множители числа для вычисления квадратного корня (в зависимости от значения это может быть точный или приблизительный ответ). Ты факторы числа - это любой набор других, которые умножаются для его достижения. Вы можете, например, сказать, каковы факторы и почему. С другой стороны, полные квадраты - это целые числа, полученные в результате умножения других целых чисел. Значения, и, например, являются точными квадратами, потому что они могут быть представлены, и, соответственно. Как вы понимаете, идеальные квадратные множители также являются точными квадратами. Чтобы начать нахождение квадратного корня путем простой факторизации, уменьшите значения до идеальных квадратных множителей.
- В одном примере вам нужно будет вычислить квадратный корень из руки. Для начала просто разделите значение на квадратные множители. Поскольку оно кратно, все еще известно, что оно делится на - полный квадрат. Быстрое мысленное деление позволит вам увидеть, что оно соответствует разу в числе, которое по совпадению также является точным квадратом. Следовательно, точные квадратные коэффициенты будут и почему.
- Первый этап упражнения запишется так:
Вычислите квадратные корни из точных квадратных множителей. Свойство продукта квадратного корня утверждает, что для любых значений и данных. Благодаря этому теперь можно извлечь квадратные корни из множителей и умножить их, чтобы получить ответ.- В рассматриваемом примере квадратные корни из и будут извлечены следующим образом:
Сократите полученное значение до самых простых значений, если невозможно точно разложить на множители. На практике числа вряд ли будут идеальными и точными с множителями, которые также являются точными квадратами (например,). В таких случаях может быть невозможно дать точный полный ответ. Вместо этого, определяя факторы, которые могут быть точными квадратами, вы можете вычислить ответ на основе меньшего, более простого и легкого в работе квадратного корня. Просто сократите число до комбинации факторов, которые являются точными квадратами, с другими, которые таковыми не являются. Затем упростите результат.- Предположим, что квадратный корень используется в качестве примера. Это число не является произведением двух полных квадратов, поэтому невозможно получить целое значение, как в предыдущем случае. Однако это произведение идеального квадрата и другого числа - e. Эти данные будут использоваться для продвижения поиска ответа в самых простых терминах, а именно:
При необходимости сделайте смету. Используя квадратный корень в его простейших выражениях, проще оценить числовой отклик, указав значения оставшихся квадратных корней и умножив соответствующие значения. Один из способов помочь себе в этих оценках - найти точные квадраты рядом с числом в квадратном корне. Вы будете знать, что десятичные разряды этого числа будут находиться между этими двумя значениями, и, следовательно, будет легче определить, что существует между ними.- Возвращаясь к примеру и являясь e, вы можете видеть, что оно находится между e и, вероятно, ближе к большему числу. При оценке вы найдете это. Просто проверьте операцию с помощью калькулятора, и вы заметите, что вы очень близко подошли к истинному ответу ().
- Это также работает в больших количествах. Например, можно оценить, что оно находится между и (вероятно, ближе к большему числу). Если e и находится между обоими значениями, вполне вероятно, что его квадратный корень также находится между и. Принимая во внимание, что это небольшой шаг, вы можете с уверенностью сказать, что ваш квадратный корень равен скоро ниже значения. Выполняя расчет на калькуляторе, вы приходите к результату - предположение было правильным.
- Возвращаясь к примеру и являясь e, вы можете видеть, что оно находится между e и, вероятно, ближе к большему числу. При оценке вы найдете это. Просто проверьте операцию с помощью калькулятора, и вы заметите, что вы очень близко подошли к истинному ответу ().
Сначала уменьшите число до вашего общие кратные минимумы. Нет необходимости находить множители, которые являются точными квадратами, если вы можете определить простые множители числа (то есть, которые также являются простыми числами). Запишите значение, о котором идет речь, исходя из минимума общих кратных. Затем найдите пары простых чисел, которые соответствуют друг другу. Когда вы найдете два варианта, которые соответствуют этим требованиям, извлеките их из квадратного корня и поместите а из них снаружи.
- В качестве примера попробуйте найти квадратный корень из этого метода. Известно то и то. Благодаря этому можно записать квадратный корень через его множители: Просто возьмите два присутствующих внутри корня и поместите один из них снаружи, чтобы прийти к простейшим терминам: Отсюда легко оценить.
- В качестве последнего примера попробуйте вычислить квадратный корень из:
Здесь есть несколько значений внутри квадратного корня - поскольку это простое число, просто возьмите одну из пар и поместите одну из единиц снаружи.- В результате квадратный корень в простейшем виде будет или. Отсюда вы можете оценить значения и, если хотите.
Метод 2 из 2: вычисление квадратного корня вручную
Сначала разделите пробелы от числа попарно. Этот метод использует процесс, похожий на деление в столбик, для вычисления квадратного корня. точный, по одному дому за раз. Хотя это и не критично, вы можете обнаружить, что этот процесс проще, если он организован визуально и число разделено на части. Первое, что нужно сделать, это нарисовать вертикальную линию, разделяющую рабочую область на две области, а затем нарисовать меньшую горизонтальную линию в правом верхнем углу, чтобы иметь небольшую часть вверху и большую внизу. Теперь отделите пробелы от числа попарно, начиная с запятой: выполнение этого правила, например, становится. Напишите значение в верхней части левого поля.
- В одном примере попробуйте вычислить квадратный корень из. Сделайте две линии, чтобы разделить рабочую область, как в предыдущем случае, и напишите в верхней части левого пространства, и не беспокойтесь, если слева будет только одно число, а не пара. Вы должны написать ответ () в правом верхнем углу.
Найдите наибольшее целое число, квадрат которого меньше или равен числу (или паре чисел) слева. Начните с крайней левой части вашего числа, будь то пара или изолированное значение. Определите, какой из наибольших совершенных квадратов меньше или равен этому числу, и извлеките из него квадратный корень: это значение представлено как. Запишите его в правом верхнем углу и укажите свой квадрат в правом нижнем квадранте.
- В этом примере крайняя левая часть - это номер. Как известно, это можно утверждать, поскольку это наибольшее целое значение, квадрат которого меньше или равен. Напишите в верхнем квадранте - это будет первый квадрат результата. Затем напишите (квадрат) в правом нижнем квадранте - это значение будет важно для следующего шага.
Вычесть вновь рассчитанный номер пары слева. Как и в случае с делением в длину, следующий шаг - вычесть найденный квадрат из только что изученной части. Запишите это значение под первой частью и выполните соответствующее вычитание, написав ответ ниже.
- В этом примере один будет помещен под другим, чтобы выполнить вычитание. Ответ здесь будет равен.
Перейти к следующей паре. Переместите следующую часть номера исследования вниз и рядом с вычтенным значением, которое вы только что нашли. Затем умножьте значение в правом верхнем углу на и запишите ответ в правом нижнем квадранте. Теперь просто выделите место для задачи умножения на следующем шаге :.
- В этом примере следующая доступная пара -. просто посмотрите на него в нижнем левом квадранте. Затем умножьте значение на и получите его, так что. Напишите в правом нижнем углу, а затем нажмите.
Заполните пропуски в правом квадранте. Теперь у каждого из них будет одно и то же целое число. Оно должно быть самым большим, чтобы результат умножения справа был меньше или равен числу, которое сейчас присутствует слева.
- В этом примере заполнение пропусков с результатом :. Это значение больше чем. Таким образом, он слишком велик, но, вероятно, сойдет. Запишите в пустые поля и продолжайте:. Подтверждено, что это соответствует потребности, потому что, затем напишите число в верхнем правом квадранте.Это второй квадрат квадратного корня из.
Вычтите рассчитанное значение из числа слева. Продолжайте вычитать в том же стиле, что и длинное деление. Возьмите результат задачи умножения в правом квадранте и вычтите его из значения, которое теперь находится в левой части, поместив свой ответ чуть ниже.
- В этом примере оно будет вычтено из, в результате чего получится.
Повторите шаг 4. Прокрутите вниз до следующей части числа, для которого вычисляется квадратный корень. Когда вы дойдете до запятой, введите десятичный знак в ответ в правом верхнем квадранте. Затем умножьте значение в верхнем правом углу на и напишите операцию белым цветом (), как и раньше.
- В этом примере, поскольку сейчас достигается запятая, напишите ее сразу после текущего ответа вверху справа. Затем опустите следующую пару () в левом квадранте. Умножив на значение в правом верхнем углу (), вы получите - пишите в правом нижнем квадранте.
Повторите шаги 5 и 6. Найдите наибольшее десятичное значение, способное заполнить пробелы справа, которые дают результат, меньший или равный числу, находящемуся в данный момент слева. Тогда просто переходите к проблеме.
- В примере ,, которое меньше или равно числу слева (). Наблюдая за тем, что слишком высоко, вы приходите к выводу, что это именно тот ответ, который вы ищете. Запишите его как следующий десятичный знак в правом верхнем квадранте и вычтите результат умножения числа слева :.
Продолжайте вычислять десятичные знаки. Сбросьте пару нулей слева и повторите Шаги 4, 5 и 6. Для еще большей точности продолжайте повторять процесс, пока не найдете в своем ответе сотые, тысячные и т. Д. Просто продолжайте этот цикл, пока не достигнете результата в желаемом десятичном разряде.
Понимание процесса
Определите число, квадратный корень которого будет вычисляться как площадь квадрата. Поскольку эта область имеет формулу, в которой она представляет длину одной из ее сторон, при попытке найти квадратный корень из ее значения вы пытаетесь вычислить длину рассматриваемого квадрата.
Укажите переменные для каждого десятичного знака в ответе. Задайте для переменной первое десятичное значение (вычисляется квадратный корень), второе, третье и т. Д.
Присвойте буквенные переменные каждой части начального числа. Свяжите переменную с первой парой десятичных знаков в (начальное значение), второй парой десятичных знаков и т. Д.
Разберитесь в связи этого метода с длинным делением. Этот способ вычисления квадратного корня - это, по сути, задача деления в столбик, когда начальное число делится на его квадратный корень, давая его квадратный корень в ответ. Как и в случае с задачами деления в столбик, в которых интерес направлен на один десятичный знак за раз, здесь вы должны сосредоточиться сразу на двух (которые соответствуют следующему квадратному корню десятичного знака).
Найдите наибольшее число, квадрат которого меньше или равен. Первый десятичный знак в ответе представляет наибольшее целое число, квадрат которого не превышает (так). В примере, и, так что.
- В одном примере, если вы хотите разделить с помощью метода длинного деления, первый шаг будет аналогичным: вы должны найти первую цифру () и найти наибольшее целое число, которое при умножении на дает результат меньше или равно. По сути, речь идет о поиске такого пути. В этом случае он будет равен.
Визуализируйте квадрат, площадь которого вы хотите вычислить. Ответ, который представляет собой квадратный корень из начального числа, будет представлен как, который описывает длину квадрата площади (начальное число). Значения для и представляют собой десятичные разряды, присутствующие в. Другой способ сформулировать это определение - указать, что в случае ответа с двумя десятичными знаками, в случае ответа с тремя десятичными знаками и так далее.
- В примере. Помните, что он представляет собой ответ в единицах и десятках. Взяв и в качестве примера, получим число. Если он представляет площадь квадрата, он представляет площадь самого большого внутреннего квадрата, представляет площадь самого маленького внутреннего квадрата и представляет площадь каждого из оставшихся прямоугольников. При выполнении этого долгого и сложного процесса у вас будет под рукой вся квадратная область, просто добавив площади, рассчитанные из квадратов и прямоугольников внутри.
Вычтите из. Отбросьте пару () десятичных знаков. Выражение представляет почти всю площадь квадрата, из которой был вычтен самый большой внутренний квадрат. Остальное, в свою очередь, может быть представлено полученным в Шаг 4 (в примере выше). Здесь (площадь обоих прямоугольников плюс площадь наименьшего квадрата).
Ищите, также пишется как. В этом примере вы уже знаете () и (), и теперь необходимо вычислить значение. Вероятно, это будет не целое число, поэтому вам нужно В самом деле вычислить наибольшую целую возможность, удовлетворяющую условию. Наконец, вы останетесь с.
Решите операцию. Чтобы продолжить, умножьте на, измените положение десятков (эквивалент умножения значения на), поместите его в положение единиц и умножьте результат на. Другими словами, просто выполните операцию. Это то же самое, что и при записи (нахождении) в правом нижнем квадранте, присутствующем в Шаг 4. Уже в Шаг 5, в свою очередь, вы найдете наибольшее целое значение, которое поместится в пустое пространство, удовлетворяющее условию.
Вычтите площадь из общей площади. В результате получается область, которая до сих пор не учитывалась (и которая будет использоваться для вычисления следующих квадратов аналогичным образом).
Чтобы вычислить следующий десятичный знак, просто повторите процесс. Прокрутите вниз до следующей пары () из, чтобы перейти влево и найти максимальное значение, удовлетворяющее условию (эквивалентно записи двойного значения с двумя десятичными знаками в сопровождении. Искать максимально возможное десятичное значение в пробелах что приносит результат меньше или равный, как и раньше.
подсказки
- Этот метод работает с любой базой, а не только с (десятичной) базой.
- В примере «отдых» можно рассматривать:
- Альтернативный метод, использующий непрерывные дроби, следует этой формуле:
В одном примере для вычисления квадратного корня из целого числа, квадрат которого наиболее точно соответствует начальному числу, будет, так что e. При вводе значений в формулу и округлении оценки в большую сторону он уже приносит результат (минимальные значения) или приблизительно (). Следующий член будет или приблизительно (). Каждый дополнительный член добавляет почти три десятичных знака точности по сравнению с предыдущей попыткой.
Предупреждения
- Не забывайте отделять десятичные знаки попарно от запятой. Разделение того, как, например, принесет бесполезные результаты.
