Содержание

• меры
• подсказки

У тех, кто испытывает трудности с математикой, вид символа квадратного корня может вызвать озноб. Однако проблемы с этим оператором не так сложны, как кажутся. Иногда простые задачи извлечения квадратного корня могут быть такими же простыми, как простое умножение или деление. С другой стороны, более сложные задачи могут потребовать больше работы. Тем не менее, при правильном подходе все они будут выглядеть легко. Начните выполнять задачи с квадратным корнем прямо сейчас и изучите этот новый математический навык радикал!

меры

Часть 1 из 3. Понятие о квадратных и квадратных корнях

1. 

   Прежде чем понимать квадратные корни, сначала поймите, что такое квадрат числа. Это легко понять. Чтобы возвести число в квадрат, просто умножьте его само на себя. Например, 3 в квадрате - это то же самое, что 3 × 3 = 9, а 9 в квадрате - это то же самое, что 9 × 9 = 81. Квадраты обозначаются маленькой цифрой «2» в верхней правой части числа, которое нужно возвести, вот так: 3, 9, 100 и так далее.
   • Чтобы практиковать эту концепцию, попробуйте возвести в квадрат еще несколько чисел. Помните, возведение числа в квадрат - это просто его умножение на само себя. Вы можете сделать это даже с отрицательными числами, но помните, что в этом случае ответ всегда будет положительным. Например, -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   Чтобы найти квадратный корень, найдите "обратную" величину потенцирования. Корневой символ (√, также называемый «радикальным») в основном означает «противоположность» символа. Когда вы видите радикал, спросите себя: «Какое число я могу умножить само на себя, чтобы результат был числом внутри радикала?» Например, когда вы видите √ (9), попробуйте найти число, возведенное в квадрат, равно 9. В этом случае ответ будет трипотому что 3 = 9.
   • Другой пример: давайте найдем квадратный корень из 25 (√ (25)). Это означает, что нам нужно найти число, которое в квадрате равно 25. Поскольку 5 = 5 × 5 = 25, мы можем сказать, что √ (25) = 5.
   • Вы также можете рассматривать эту операцию как способ «отменить» квадратную отметку. Например, если нам нужно найти √ (64), квадратный корень из 64, мы должны думать о 64 как о 8. Поскольку квадратный корень в основном «отменяет» квадрат высоты, мы можем сказать, что √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   Поймите разницу между точными квадратными числами и несовершенными квадратными числами. До сих пор ответы на наши проблемы извлечения квадратного корня были целыми числами. Так будет не всегда. Фактически, результат операции излучения иногда может приводить к длинным сложным десятичным дробям. Если корень числа является целым числом, то есть если это не дробная или десятичная дробь, оно будет называться идеальный квадрат, Все приведенные выше примеры (9, 25 и 64) являются точными квадратами, потому что их корни - целые числа (3, 5 и 8 соответственно).
   • С другой стороны, числа, корни которых не целые, называются несовершенные квадраты, При вычислении корня одного из этих чисел мы получим результат, который обычно является дробной или десятичной дробью. Иногда используемые десятичные дроби могут быть довольно сложными, как в примере: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   Запомните хотя бы первые 12 идеальных квадратов. Как мы показали, вычислить квадратный корень из числа очень просто! Поэтому важно найти время, чтобы запомнить квадратные корни из первой дюжины полных квадратов. Они часто появляются на тестах, поэтому их запоминание может сэкономить вам много времени. Первые 12 идеальных квадратов:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   По возможности упрощайте корни, удаляя идеальные квадраты. Найти квадратный корень из несовершенных квадратов может быть довольно сложно, особенно если нет доступного калькулятора (в следующих разделах вы узнаете, как упростить процесс). Однако иногда можно упростить числа внутри корня, чтобы упростить вычисления. Просто разделите число внутри корня на множители, затем вычислите корень из множителей, которые являются точными квадратами, и запишите ответ вне корня. Это проще, чем кажется. См. Ниже, чтобы лучше понять!
   • Допустим, вам нужно найти рут 900. Изначально это кажется довольно сложной задачей! Все намного проще, если разделить 900 на множители. Множители числа «x» представляют собой набор чисел, умножение которых дает «x». Например, мы можем получить 6, умножив 1 × 6 и 2 × 3, поэтому множители 6 будут 1, 2, 3 и 6.
   • Вместо того, чтобы работать с 900, что может показаться немного странным, давайте вместо этого запишем его как 9 × 100. Теперь, когда 9, который представляет собой полный квадрат, отделен от 100, мы можем вычислить его квадратный корень. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). То есть √ (900) = 3√(100).
   • Мы все еще можем упростить еще два раза, разделив 100 на множители 25 и 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Итак, мы можем сказать, что √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   Используйте мнимые числа, чтобы вычислить корень отрицательных чисел. Спросите себя, какое число, умноженное на само, дает -16? Это не 4 или -4, потому что квадрат этих двух чисел равен 16. Должны ли мы отказаться? На самом деле, нет способа записать квадратный корень из -16 или любое другое отрицательное число, используя только действительные числа. В таких случаях мы должны использовать мнимые числа (обычно в форме букв или символов), чтобы заменить квадратный корень из отрицательного числа. Переменная «i», например, используется для обозначения квадратного корня из -1. Как правило, корень отрицательного числа всегда будет (или, по крайней мере, включать) мнимое число.
   • Помните, что даже если мнимые числа не могут быть представлены действительными числами, их все же можно рассматривать как таковые в некотором роде. Например, корень отрицательного числа «-x» в квадрате также приводит к «-x», как и любой другой корень. То есть i = -1

Часть 2 из 3: Использование методов, подобных длинному делению

1. 

   Относитесь к проблеме квадратного корня так, как если бы она была делением в длину. Несмотря на то, что это немного трудоемко, вы можете найти квадратный корень из сложных несовершенных квадратных чисел без использования калькулятора. Метод (или алгоритм) аналогичен (но не идентичен) методу деления в столбик. Длинное деление - это традиционный метод, используемый для вычисления деления вручную.
   • Начните с первоначального позиционирования задачи, которое будет похоже на положение деления в столбик. Например, предположим, что вам нужно найти корень из 6,45, который определенно не является полным квадратом. Сначала мы пишем символ квадратного корня (√), а затем помещаем в него свое число. Затем мы должны провести линию из символа √ до тех пор, пока он не покроет все число, оставив его внутри коробки, аналогичной той, где находится делитель в столбик. Разница в том, что здесь ответ будет выше этого поля, а не ниже, как при традиционном делении. Когда мы закончим, у нас будет удлиненный знак «√», охватывающий все 6,45.
   • Давайте напишем числа на этом поле, поэтому оставьте место.

2. 

   Сгруппируйте цифры в пары. Чтобы приступить к решению задачи, сгруппируйте цифры числа внутри стержня попарно, начиная с десятичной точки. Вы можете сделать небольшие отметки (например, точки, столбцы, запятые и т. Д.) Между парами, чтобы разделить их.
   • В нашем примере мы должны разделить 6,45 на три пары, например: 6-,45-00, Смотрите, что слева на одну цифру меньше, с этим нет проблем.

3. 

   Найдите наибольшее число, квадрат которого меньше или равен значению первой «группы». Начните с первой пары цифр слева. Выберите наибольшее число, квадрат которого меньше или равен «группе». Например, если в группе было 37, выберите 6, потому что 6 = 36 <37, но 7 = 49> 37. Напишите это число над первой группой. Это первая цифра ответа.
   • В нашем примере первая группа в 6-, 45-00 - 6. Первое наибольшее число, квадрат которого меньше или равен 6, это 2, потому что 2 = 4. Напишите «2» над 6 внутри корня.

4. 

   Посмотрите на первую цифру ответа (число, которое мы только что нашли) и умножьте на два. Теперь запишите результат под первой группой и выполните вычитание, чтобы найти разницу. Затем прокрутите следующую пару чисел, добавив их к только что найденной разнице. Наконец, запишите последнюю цифру, удвоив первую цифру ответа слева, и оставьте рядом с ней пробел.
   • В нашем примере первым шагом будет найти двойное число 2, которое является первой цифрой ответа. 2 × 2 = 4. Затем мы должны вычесть 4 из 6 (наша первая «группа»), получив в качестве ответа 2. Теперь нам нужно перейти к следующей группе (45), чтобы получить 245. Наконец, мы снова пишем 4 слева, оставляя небольшое пустое место справа, например: 4_.

5. 

   Заполнить бланк. Теперь нам нужно поставить цифру вместо пробела рядом с числом, которое мы пишем слева. Выберите цифру, которая при умножении на число слева с пустым пространством, замененным на себя, имеет максимальное значение, но меньше числа справа. Это может показаться немного сложным, поэтому давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы понять. Если число, которое упало, то есть число справа, равно 1700, а число справа - 40_, мы заполнили бы пробел числом 4, потому что 404 × 4 = 1616 <1700 и 405 × 5 = 2025 Число, найденное на этом шаге, будет второй цифрой ответа, поэтому вы можете добавить его над символом основы.
   • В нашем примере нам нужно найти число, чтобы заполнить пустое пространство в 4_ × _, которое сделает ответ как можно большим, но меньше или равным 245. В нашем случае ответ будет 5потому что 45 × 5 = 225 и 46 × 6 = 276.

6. 

   Продолжайте использовать числа, заполняющие пропуски, чтобы составить ответ. Продолжайте этот модифицированный метод деления в столбик, пока не начнете получать нули путем вычитания числа, которое спускается от корня, или пока не достигнете желаемого уровня точности. Когда закончите, числа, используемые для заполнения пробелов на каждом этапе (и, конечно же, первое число, которое мы используем), составят цифры ответа.
   • Продолжая наш пример, мы вычли бы 225 из 245, чтобы получить 20. Затем мы опустили бы пару цифр 00, чтобы получить 2000. Удвоив числа над корнем, мы получим 25 × 2 = 50. Установив пустое число на 50_ × _ = / <2,000, получаем 3, На данный момент у нас есть «253» о радикале. Повторяя процесс еще раз, мы получаем 9 в качестве следующей цифры.

7. 

   Поместите запятую в правильное место в ответе. Чтобы закончить ответ, нам все равно нужно поставить десятичную точку в нужном месте. Эта часть проста: просто поставьте запятую в ответе в том же месте, что и запятая в числе внутри корня. Например, если число внутри корня - 49,8, просто поставьте запятую в ответе в месте, соответствующем приведенному ниже, то есть между двумя числами выше 9 и 8.
   • В нашем примере число в радикале - 6,45. Чтобы получить ответ, просто поставьте запятую между числами выше 6 и 4, которые в данном случае равны 2 и 5, соответственно, чтобы получить ответ: 2,539.

Часть 3 из 3: Быстрая оценка несовершенных квадратов

1. 

   Найдите ответ через оценку. Как только вы узнаете корень некоторых идеальных квадратов, найти корень несовершенных квадратов станет намного проще. На предыдущем шаге мы рекомендуем запомнить хотя бы первые двенадцать полных квадратов и их корни. Хорошая новость заключается в том, что мы можем использовать эту оценку, чтобы получить приближение корня несовершенного квадрата, который находится между двумя точными квадратами, которые мы знаем. Для этого нам нужно найти первый идеальный квадрат, превышающий желаемое число, и последний, меньший, чтобы рассматриваемое число было между ними. Затем нам нужно попытаться выяснить, к какому из этих двух точных квадратов ближе всего корень искомого числа.
   • Например, предположим, что нам нужно найти квадратный корень из 40. Поскольку мы запоминаем наши идеальные квадраты, мы можем сказать, что 40 находится между 6 и 7, то есть между 36 и 49. Поскольку 40 больше 6, ваш квадратный корень будет больше 6. Аналогично, поскольку оно меньше 7, его корень будет меньше 7. 40 немного ближе к 36, чем к 49, поэтому наш ответ, вероятно, будет ближе к 6. В следующих шагах , мы повысим точность нашей оценки.

2. 

   Увеличьте точность до одного десятичного знака. Как только вы найдете два последовательных идеальных квадрата, которые образуют диапазон, содержащий ваше число, просто попробуйте повысить точность оценки до точки, которую вы считаете удовлетворительной. Чем больше будет сделано попыток улучшить оценку, тем выше точность. Для начала прикиньте значение первого десятичного знака. Эта оценка не обязательно должна быть правильной, но использование логики для выбора значения, которое, вероятно, будет наиболее близким к ответу, облегчит процесс.
   • В нашем примере приемлемой оценкой квадратного корня из 40 может быть 6,4, потому что мы уже знаем, что ответ, вероятно, немного ближе к 6, чем к 7.

3. 

   Умножьте оценку на себя. Если вам не повезет, результат не будет стартовым числом (в нашем примере 40). Вам нужно будет скорректировать оценку, чтобы приблизиться к правильному ответу.Если результат выше начального числа (то есть выше 40), попробуйте более низкую оценку. Аналогично, если результат ниже желаемого, увеличьте оценку.
   • Умножив 6,4 на себя, получим 6,4 × 6,4 = 40,96, что немного выше нашего исходного числа.
   • Теперь, поскольку наша оценка была чуть выше правильного значения, давайте уменьшим ее на одну десятую, чтобы получить 6,3 × 6,3 = 39,69, Теперь результат был немного меньше нашего исходного числа. Это означает, что корень 40 - это какое-то число от 6,3 до 6,4, Кроме того, поскольку 39,69 ближе к 40, чем 40,96, мы знаем, что корень будет ближе к 6,3, а не 6,4.

4. 

   При необходимости продолжайте улучшать оценку. На этом этапе, если вы удовлетворены ответом, используйте одно из первых приближений в качестве оценки. Однако, если вам нужен более точный ответ, просто попробуйте оценить второй десятичный знак, выбирая значение между двумя предыдущими (то есть между 6,3 и 6,4). Используя этот метод, мы можем оценить три десятичных знака, четыре, пять и так далее, в зависимости только от точности, необходимой для ответа.
   • В нашем примере мы можем выбрать 6,33, чтобы сделать нашу оценку до двух знаков после запятой. Умножьте 6,33 на себя, чтобы получить 6,33 × 6,33 = 40,0689. Поскольку этот результат был немного выше нашего первоначального числа, мы можем выбрать немного меньшее значение, например 6,32. В данном случае 6,32 × 6,32 = 39,9424, что немного ниже начального числа. Таким образом, мы можем заключить, что точный корень 40 равен между 6,32 и 6,33, Если необходимо, мы могли бы продолжить этот метод для получения более точных приближений к корню желаемого числа.

подсказки

• Если вам нужно быстрое решение проблемы, воспользуйтесь калькулятором. Большинство современных калькуляторов могут мгновенно вычислить квадратные корни. В общем, просто введите любое число и нажмите кнопку с символом квадратного корня. Например, чтобы найти корень числа 841, просто нажмите 8, 4, 1, а затем (√), чтобы получить ответ: 39.