Содержание

• Шаги
• подсказки
• Предупреждения

Упростить квадратный корень не так сложно, как кажется. Для этого вам просто нужно разложить число на множители и извлечь корни из любого найденного идеального квадрата. После того, как вы запомните несколько распространенных идеальных квадратов и научитесь разложить число на множители, вы на правильном пути к упрощению квадратного корня.

Шаги

Метод 1 из 3. Упрощение квадратного корня путем факторизации

1. 

   Разберитесь в факторинге. Цель упрощения квадратного корня - переписать его таким образом, чтобы его можно было понять и использовать в математических задачах. Факторинг разбивает большое количество на два или более факторы меньшие, например, преобразование 9 в 3 x 3. Как только мы обнаружим эти факторы, мы можем переписать квадратный корень в более простой форме, иногда даже преобразовывая его в нормальное целое число. Например, √9 = √ (3x3) = 3. Выполните следующие шаги, чтобы узнать, как сделать этот процесс с более сложными квадратными корнями.

2. 

   
   
   Разделите на наименьшее возможное простое число. Если число под квадратным корнем четное, разделите его на 2. Если оно нечетное, попробуйте вместо этого разделить его на 3. Если ни один из них не дает вам целого числа, просмотрите этот список, проверяя другие простые числа, пока в результате не получите целое число. Вам просто нужно проверить простые числа, так как все остальные имеют простые множители. Например, вам не нужно проверять 4, потому что любое число, делящееся на 4, также делится на 2, что вы уже пробовали.
   • 2.
   • 3.
   • 5.
   • 7.
   • 11.
   • 13.
   • 17.

3. 

   
   
   Перепишите квадратный корень как задачу умножения. Оставьте все под корень и обязательно включите оба фактора. Например, если вы пытаетесь упростить √98, выполните описанный выше шаг и найдите, что 98 ÷ 2 = 49, поэтому 98 = 2 x 49. Перепишите «98» в исходный квадратный корень, используя эту информацию: √98 = √ ( 2 х 49).

4. 

   
   
   Повторите с одним из оставшихся чисел. Прежде чем мы сможем упростить корень, мы продолжаем факторизовать его, пока не разбиваем его на две идентичные части. Это имеет смысл, если вы подумаете о том, что означает квадратный корень: термин √ (2 x 2) означает «число, которое вы можете умножить самостоятельно, равное 2 x 2». Очевидно, это число 2! Помня об этой цели, давайте повторим шаги, описанные выше, для нашего примера задачи √ (2 x 49):
   • Число 2 уже разложено на максимум (другими словами, это одно из тех простых чисел из списка выше). Давайте пока проигнорируем это и попробуем вместо этого разделить 49.
   • 49 нельзя разделить поровну на 2, 3 или 5. Вы можете проверить это с помощью калькулятора или разделив его. Поскольку эти числа не дают полного результата, давайте проигнорируем их и продолжим попытки.
   • 49 он может делится поровну на 7. 49 ÷ 7 = 7, поэтому 49 = 7 x 7.
   • Перепишите задачу: √ (2 x 49) = √ (2 x 7 x 7).

5. 

   Завершите упрощение, «вынув» целое число. Разбив задачу на два идентичных фактора, вы можете превратить ее в обычное целое число вне квадратного корня. Оставьте в нем все остальные факторы. Например, √ (2 x 7 x 7) = √ (2) √ (7 x 7) = √ (2) x 7 = 7√ (2).
   • Даже если есть возможность продолжить факторинг, в этом нет необходимости, если вы нашли два идентичных фактора. Например, √ (16) = √ (4 x 4) = 4. Если бы мы продолжили множить, мы бы получили тот же ответ, но проделали большую работу. √ (16) = √ (4 x 4) = √ (2 х 2 х 2 х 2) = √ (2 х 2) √ (2 х 2) = 2 х 2 = 4.

6. 

   Умножьте целые числа, если их больше одного. Некоторые большие квадратные корни можно упростить несколько раз. Если это произойдет, умножьте целые числа, чтобы добраться до последней задачи. Вот пример:
   • √180 = √ (2 х 90).
   • √180 = √ (2 х 2 х 45).
   • √180 = 2√45, но это все еще можно упростить.
   • √180 = 2√ (3 х 15).
   • √180 = 2√ (3 х 3 х 5).
   • √180 = (2)(3√5).
   • √180 = 6√5.

7. 

   Напишите «это не может быть упрощено», если нет двух одинаковых факторов. Некоторые квадратные корни уже представлены в простейшей форме. Если вы продолжите множитель до тех пор, пока каждый член ниже квадратного корня не станет простым числом (перечисленным в одном из шагов выше) и не будет двух одинаковых чисел, вы ничего не сможете сделать. Возможно, вы получили вопрос с подвохом! Например, попробуем упростить √70:
   • 70 = 35 x 2, поэтому √70 = √ (35 x 2).
   • 35 = 7 x 5, поэтому √ (35 x 2) = √ (7 x 5 x 2).
   • Все три числа простые, поэтому их нельзя разложить на множители. Кроме того, они все разные, поэтому «удалить» целое число невозможно. √70 нельзя упростить.

Метод 2 из 3: знание идеальных квадратов

1. 

   Запомните несколько идеальных квадратов. Возведение числа в квадрат или его умножение само на себя дает идеальный квадрат. Например, 25 - это точный квадрат, потому что 5 x 5 или 5 равно 25. Запоминание хотя бы первых десяти полных квадратов может помочь вам быстро распознать и упростить точные квадратные корни. Вот первые 10 идеальных квадратов:
   • 1 = 1.
   • 2 = 4.
   • 3 = 9.
   • 4 = 16.
   • 5 = 25.
   • 6 = 36.
   • 7 = 49.
   • 8 = 64.
   • 9 = 81.
   • 10 = 100.

2. 

   Найдите квадратный корень из полного квадрата. Если вы узнаете идеальный квадрат под символом квадратного корня, вы можете сразу же сделать его своим квадратным корнем и избавиться от символа корня (√). Например, если вы видите число 25 под символом квадратного корня, вы уже знаете, что ответ - 5, потому что 25 - это полный квадрат. Вот тот же список выше, на этот раз от квадратного корня до ответа:
   • √1 = 1.
   • √4 = 2.
   • √9 = 3.
   • √16 = 4.
   • √25 = 5.
   • √36 = 6.
   • √49 = 7.
   • √64 = 8.
   • √81 = 9.
   • √100 = 10.

3. 

   Разложите числа на полные квадраты. Используйте точные квадраты, которые помогут вам при использовании метода факторизации при упрощении квадратных корней. Если вы заметили какой-либо способ получить идеальный квадрат, это поможет вам сэкономить время и силы. Вот несколько советов:
   • √50 = √ (25 x 2) = 5√2. Если две последние цифры номера оканчиваются на 25, 50 или 75, всегда можно получить 25.
   • √1700 = √ (100 x 17) = 10√17. Если две последние цифры заканчиваются на 00, всегда можно получить 100.
   • √72 = √ (9 x 8) = 3√8. Часто бывает полезно распознавать числа, кратные 9. Вот уловка: если при добавлении все цифры числа, результат - 9, поэтому 9 всегда будет фактором.
   • √12 = √ (4 x 3) = 2√3. Здесь нет особого трюка, но обычно легко проверить, делится ли маленькое число на 4. Помните об этом при поиске множителей.

4. 

   Вынесите за скобки число, превышающее полный квадрат. Если множители числа содержат более одного полного квадрата, уберите их все за пределы символа корня. Если в процессе упрощения вы найдете несколько идеальных квадратов, уберите все их квадратные корни из символа √ и умножьте их. Например, упростим √72:
   • √72 = √ (9 х 8).
   • √72 = √ (9 х 4 х 2).
   • √72 = √ (9) x √ (4) x √ (2).
   • √72 = 3 х 2 х √2.
   • √72 = 6√2.

Метод 3 из 3: Знание терминологии

1. 

   Знайте, что символ корня (√) - это символ квадратного корня. Например, в задаче √25 "√" обозначает радикал.

2. 

   Знайте, что радикал - это число внутри символа радикала. Вам нужно найти квадратный корень из этого числа. Например, в задаче √25 «25» - это корень.

3. 

   Знайте, что коэффициент - это число за пределами радикального символа. Это число, на которое умножается квадратный корень; он находится слева от символа √. Например, в задаче 7√2 коэффициент «7».

4. 

   Знайте, что множитель - это число, которое делит другое равномерно, не оставляя остатка. Например, 2 - это коэффициент 8, потому что 8 ÷ 4 = 2, но 3 не является фактором 8, потому что 8 ÷ 3 не дает целого числа. Другой пример: 5 - это коэффициент 25, потому что 5 x 5 = 25.

5. 

   Разберитесь, что значит упрощать извлечение квадратного корня. Это просто означает вычленение и удаление любых идеальных квадратов из корня, перемещение их влево от символа основы и оставление другого множителя внутри символа. Если число представляет собой полный квадрат, символ корня исчезнет после того, как вы напишете корень. Например, √98 можно упростить до 7√2.

подсказки

• Один из способов найти точные квадратные корни, которые являются множителями числа, - это просмотреть список полных квадратов, начиная со следующего наименьшего числа по сравнению с вашим корнем. Например, при поиске идеального квадрата, который умещается в 27, вы можете начать с 25 и прокрутить вниз до 16, остановка в 9, когда вы обнаружите, что это коэффициент 27.

Предупреждения

• Упрощение - это не то же самое, что оценка. Ни в коем случае в этом процессе вы не должны получать числа с десятичной точкой!
• Калькуляторы могут быть полезны для больших чисел, но чем больше вы будете практиковать их самостоятельно, тем легче станет это делать.